Основные комбинаторные схемы

Занятие 1. Комбинаторика.

Главные комбинаторные правила

Правило суммы

Если огромное количество содержит частей, а огромное количество – частей и скрещение множеств и пусто, , то число частей в их объединении равно сумме частей множеств и : .

Число частей во огромном количестве именуется его мощностью.

Пример 1. Сколько существует методов поставить белопольного слона на шахматную доску, чтоб он держал Основные комбинаторные схемы под боем больше 10 полей.

Рис. 1
Решение. Всего на шахматной доске 32 белоснежных клеточки. Количество полей, находящихся под боем находится в зависимости от расстояния до края доски. Так, если слон стоит на одном из последних полей (их 14 штук), то он держит под боем 7 полей. Если же он занимает клеточку, отстоящую Основные комбинаторные схемы от края на один ряд (10 позиций), то – 9 полей. Если подвинуть слона еще поближе к центру (6 вероятных позиций), то число полей под боем вырастет до 11, в конце концов, для 2-ух центральных полей это число составит 13. Таким макаром, для ответа на вопрос задачки довольно сложить число способностей для третьего и 4-ого случаев: 6+2=8.

Аксиома. Если Основные комбинаторные схемы огромное количество содержит частей, а огромное количество – частей и скрещение множеств и не пусто, , то число частей в их объединении рассчитывается по формуле: .

Подтверждение. Огромное количество и огромное количество можно представить как объединение 2-ух непересекающихся множеств: , . Тогда по правилу суммы имеем:

(1)

. (2)

Вычитая из выражения (1) выражение (2), получаем:

.

Совсем имеем Основные комбинаторные схемы: , что и требовалось обосновать.

Способом математической индукции формулу можно обобщить на сумму хоть какого конечного числа множеств. А именно для 3-х конечных множеств имеем.

Следствие.

(3)

Пример 2. В школе работают кружки: математический, британского языка и спортивный. В математическом кружке занимается 150 учеников, в кружке британского языка - 80 учеников, в спортивном - 110 учеников. В Основные комбинаторные схемы кружках британского языка и спортивном занимаются 60 учеников, в математическом и спортивном - 70 учеников, в кружках математическом и британском - 40 учеников. Во всех 3-х кружках занимается 21 ученик. Ни один кружок не посещает 14 учеников. Отыскать число учащихся в школе.

Введем последующие обозначения:

- огромное количество учеников школы - основное огромное количество;

- огромное количество Основные комбинаторные схемы учеников, посещающих кружок британского языка;

- огромное количество учеников, состоящих в математическом кружке;

- огромное количество учеников, занимающихся в спортивном кружке

- число учеников, не занимающихся ни в каком кружке.

По условию , , , , , , , .

Тогда число учеников в школе можно вычислить по формуле (3). .

Правило произведения

Пусть заданы два конечных огромного количества и . Тогда огромное количество всех вероятных упорядоченных пар Основные комбинаторные схемы в их декартовом произведении равно произведению чисел частей в каждом из этих множеств: .

Пример 3. В урне лежат 5 белоснежных шаров, перенумерованных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, три бардовых шара перенумерованных цифрами 1, 2, 3 и два голубых шара перенумерованных цифрами 1, 2. Сколько можно составить разноцветных упорядоченных "троек" из этих шаров?

Обозначим огромное количество белоснежных шаров буковкой с элементами Основные комбинаторные схемы , огромное количество бардовых шаров и огромное количество голубых шаров . Тогда по правилу произведения число разноцветных упорядоченных троек рассчитывается по формуле: .

Пример 4. Сколько четырехзначных четных чисел можно составить из 7 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если числа могут повторяться.

Согласно правилу произведения имеется методов составить четырехзначное четное число из данных 7 цифр.

Пример Основные комбинаторные схемы 5. Сколько можно образовать разных композиций, состоящих из одной буковкы и 3-х цифр, если использовать 32 буковкы и 10 цифр? Понятно, что в композиции числа не могут повторяться, а нуль не может стоять на первом месте (в старшем разряде композиции).

Обозначим огромное количество букв - , а огромное количество цифр - . В каждой композиции на первом месте может Основные комбинаторные схемы стоять или цифра, или буковка. Потому разглядим два варианта.

1. Если на первом месте стоит неважно какая цифра из огромного количества , не считая 0, то имеем три декартовых произведения вида:

имеем способностей.

имеем способностей.

имеем способностей.

По правилу суммы имеем разных композиций.

2. Если на первом месте стоит буковка, то получим декартово Основные комбинаторные схемы произведение вида: . Число интересующих нас композиций равно .

Общее число композиций, таким макаром, составит .

Главные комбинаторные схемы

1. Перестановки. Пусть - некое конечное огромное количество, состоящее из разных частей . Соединения, каждое из которых содержит разных частей, взятых в определенном порядке, именуются перестановками из частей.

Число различных перестановок из частей равно произведению поочередных натуральных Основные комбинаторные схемы чисел от 1 до включительно.

(4)

Пример 6. Выпишем все перестановки из частей . Их будет всего 6: , , , , , .

То же самое число перестановок получим и по формуле (4): .

Пример 7. Сколькими методами 5 человек могут сесть на 5 стульев?

Ответ. методов..

Пример 8. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, если в каждом из этих чисел ни Основные комбинаторные схемы одна цифра не повторяется?

Решение.Цифрами единиц (младший разряд шестизначного числа) могут быть только 0 либо 2. Разглядим два варианта.

1 случай. Если в младшем разряде стоит 0, то другие 5 цифр можно расположить на оставшихся 5 местах в любом порядке. А это есть число перестановок из 5 частей .

2 случай. Если в младшем Основные комбинаторные схемы разряде шестизначного числа стоит цифра 2, то в старшем разряде этого числа не может стоять цифра 0, и, как следует, для числа старшего разряда имеется 4 способности. Если на это место поставить одну из цифр 1, 3, 5, 7, то на незанятых 4-х местах может стоять неважно какая из оставшихся 4 цифр, включая 0. Для этого существует метода. Таким Основные комбинаторные схемы макаром, в случае 2 по правилу произведения имеем всего методов. Итого по правилу суммы число разыскиваемых шестизначных чисел составит методов.

Пример 9. Сколькими методами можно рассадить на 10 стульях 5 юношей и 5 женщин так, чтоб они чередовались?

Решение. 5 женщин, чередуясь, могут избрать нечетные 5 стульев методами, оставшиеся 5 четных стульев 5 юношей могут избрать также методами Основные комбинаторные схемы. Всего получаем методов. Такое же число методов будет, если девицы займут четные стулья, а юноши нечетные. Совсем имеем те же самые

Пример 10. Сколькими методами можно поставить на книжную полку книжек так, чтоб определенных книжек стояли рядом?

Решение. Воспользуемся последующей схемой. Пусть на полке книжки стоят так, что 1-ые мест занимают те Основные комбинаторные схемы же определенных книжек.

Тогда для этих книжек имеется вероятных методов расположения (перестановок), а для оставшихся книжек - методов. По правилу произведения всего будет методов расположения.

Не считая того, в любом из этих методов расстановки 1-ые книжек можно перемещать как единое целое повдоль полки, что можно выполнить методами.

По Основные комбинаторные схемы тому же правилу произведения имеем совсем способностей, удовлетворяющих условию задачки.

Пример 11. Сколькими методами можно расставить на шахматной доске размера восемь разноцветных фишек так, чтоб на каждой горизонтали и на каждой вертикали стояла ровно одна фишка? Ответ: .

2. Размещения.Огромное количество совместно с данным на нем порядком следования именуется упорядоченным обилием. Пусть - некое Основные комбинаторные схемы конечное огромное количество, состоящее из разных частей. Составим из частей этого огромного количества различные неупорядоченные подмножества из частей, . Потом в каждом таком подмножестве упорядочим эти частей. Получим различные упорядоченные подмножества из частей, отличающиеся друг от друга или составом частей, или порядком их следования.

Число разных размещений Основные комбинаторные схемы из частей по выражается формулой:

. (5)

Формулу (5) комфортно записать в другой форме. Умножим и разделим произведение, стоящее в правой части формулы на . Тогда получим

, либо (5*)

Пример 12. Выпишем все размещения из 4 частей по два. Всего их 12: , , , , , , , , , , , .

Такое же количество выходит по формуле (5): .

Пример 13. В группе 12 учеников. В классе 24 стула. Сколькими методами можно рассадить учеников Основные комбинаторные схемы в классе?

Решение. Разных методов размещения учеников на стульях, разумеется, столько же, сколько 12-ти элементных упорядоченных подмножеств 24-х элементного огромного количества, другими словами методов.

Пример 14. Группа из 14 юношей и 15 женщин пошли в театр, но в кассе имеется только 20 билетов на один ряд. Сколькими методами можно распределить эти 20 билетов так, чтоб Основные комбинаторные схемы юноши и девицы чередовались?

Решение. 10 юношей можно высадить на нечетные места. Это задачка о выборе и размещении 10 юношей из 14, как следует, это можно сделать методами. 10 женщин можно высадить на четные места - это методов. Любая из способностей размещения женщин сочитает с хоть какой из способностей размещения юношей. Как следует Основные комбинаторные схемы, по правилу произведения, всего будет методов. Не считая того, такое же количество методов будет, если девицы займут нечетные места, а юноши - четные. По правилу сложения получаем всего методов рассредотачивания билетов.

Пример 15. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5, в каких ни одна цифра не повторяется?

Решение. Если число делится на Основные комбинаторные схемы 5, то цифрами младшего разряда могут быть только 0 либо 5. Разглядим два варианта.

1случай. Если в младшем разряде стоит 0, то задачка сводится к определению числа размещений 9 цифр на 5 мест. Для этого имеется способностей.

2 случай. Если в младшем разряде стоит 5, то в старшем разряде может быть неважно какая цифра, не считая Основные комбинаторные схемы 0 и 5. Для этого имеется 8 способностей. На оставшихся 4 местах необходимо расположить 4 числа из 8 оставшихся - методов. Всего по правилу произведения этот случай дает методов.

По правилу суммы совсем получим Ответ: методов.

Пример16. Какая часть из различных семизначных телефонных номеров состоит из неповторяющихся цифр?

Решение. Так как телефонный номер по условию Основные комбинаторные схемы может начинаться с хоть какой числа, его можно рассматривать как элемент декартова произведения , где через обозначено огромное количество всех цифр от 0 до 9. Согласно правилу произведения, имеется разных семизначных номеров.

Число же номеров, состоящих из 7 разных цифр, равно числу размещений 10 цифр на 7 мест - . Тогда разыскиваемую часть можно вычислить как отношение .

3. Сочетания.Пусть - некое Основные комбинаторные схемы конечное огромное количество, состоящее из частей. Будем строить из частей этого огромного количества различные подмножества из частей. Получим соединения, которые именуются сочетаниями. Число разных сочетаний из частей по выражается формулой:

(6)

Подтверждение. Составим все сочетания из частей по . Это можно сделать по определению методами. В каждом из Основные комбинаторные схемы приобретенных сочетаний имеется методов упорядочивания избранных частей (при помощи перестановки). Потому по правилу произведения имеем способностей избрать и расположить на мест частей из - элементного огромного количества. С другой стороны, таких способностей, как мы знаем, ровно . Таким макаром, , откуда и следует формула (6).

Формулу (6) можно записать в более комфортном для вычислений виде:

, либо

(6*)

Пример 17. Выпишем Основные комбинаторные схемы все сочетания из 5 частей по три.

Получим: , , , , , , , , , .

То же самое число разных сочетаний имеем и по формуле (6*) - .

Пример 18. В выпуклом 12-угольнике проведены различные диагонали, при этом никакие три из их не пересекаются в одной точке. Сколько существует точек скрещения обозначенных диагоналей?

Решение. Каждой точке скрещения диагоналей соответствует 4 верхушки 12-угольника Основные комбинаторные схемы, а каждой четверке вершин 12-угольника соответствует одна точка скрещения диагоналей, как следует, число всех точек скрещения диагоналей равно числу методов, которыми можно из 12 вершин избрать 4, другими словами .

Пример 19. В чемпионате страны по футболу участвует 16 команд. Чемпионат проводится в два круга. Сколько всего командных игр? Ответ: .

Пример 20. В Основные комбинаторные схемы урне находится 4 белоснежных и 3 бардовых шара. Из урны сразу вынимается два шара. Сколькими методами можно избрать из урны:

a) шары схожего цвета; б) шары различных цветов?

Решение. В случае а) число методов по правилу сложения равно .

В случае б) число методов по правилу произведения есть .

Пример 21. Полная колода карт (52 листа) делится Основные комбинаторные схемы случайным образом на две равные пачки по 26 листов. Сколькими методами можно поделить колоду так, что:

А) в каждой из пачек окажется по два туза; Б) в одной из пачек не будет ни 1-го туза; В) в одной из пачек будет один туз, а в другой - три?

Решение. В случае Основные комбинаторные схемы А) любые два туза из 4 можно избрать методами, а 24 оставшиеся карты из 48 - методами. По правилу произведения всего имеется методов деления колоды.

В случае Б) деление может осуществляться 2-мя методами: или в первой пачке будет 4 туза, а во 2-ой - ни 1-го, или напротив. Потому имеем .

В случае В) аналогично имеем Основные комбинаторные схемы .

Если ассоциировать количество методов деления, то получим .

Другими словами, число случаев, когда колода делиться так, что в одной пачке будет три туза, а в одной один в 4,5 раза больше, чем число случаев, когда в одной из пачек не будет ни 1-го туза.

Пример 22. В партии из изделий Основные комбинаторные схемы имеется бракованных. Сколькими методами можно избрать изделий так, чтоб посреди их было ровно бракованных?

Решение. Избрать изделий из бракованных можно методами. Другие небракованных деталей из общего числа можно избрать методами. По правилу произведения имеем методов решения задачки.

Пример 23. Сколькими разными методами можно нарисовать на шахматной доске размера прямоугольник, стороны Основные комбинаторные схемы которого идут по границам клеток?

Ответ: .

4. Размещения с повторениями.Подсчитываем число разных композиций, получаемых при размещении типов частей на мест, другими словами число разных упорядоченных последовательностей длины , составленных из частей типов: .

Пример 24. Сколько трехсимвольных «букв» можно составить из тире и точки?

Ответ: .

5. Перестановки с повторениями. В этой схеме имеется частей, из Основные комбинаторные схемы которых - 1-го типа, - второго типа, …, - -го типа, . Посчитаем число разных перестановок этих частей. Если б все элементы были различны, число перестановок составило бы . При всем этом перестановки частей снутри 1-го типа не дают новейшую конфигурацию, потому, умножая неведомое пока число на количество перестановок циклических частей, мы получим Основные комбинаторные схемы общее число перестановок:

, откуда ,

Пример 25. Сколько разных «слов» можно получить, переставляя буковкы в слове параллелограмм? Ответ. .

Пример 26. Сколько кратчайших путей соединяют левый нижний и правый верхний углы шахматной доски? (Движение происходит по сторонам клеток)

Ответ. .

Пример 27. Сколько существует методов пораздавать 52 карты четырем игрокам? Ответ. .

6. Сочетания с повторениями. В отличие от Основные комбинаторные схемы предшествующей схемы нас не интересует порядок выбора предметов, а только конечный итог. Из частей типов выбираются – элементные подмножества.

Каждое выбранное подмножество можно отождествить с упорядоченной последовательностью длины , в какой содержится точек и вертикальных черточек, разделяющих эти точки на частей, при этом количество частей -го типа, попавших в выбранное подмножество Основные комбинаторные схемы равно числу точек меж -ой и -ой черточками. Если меж какими-либо примыкающими черточками нет точек, то элементы соответственного типа не попали в выбранное огромное количество.

Получаем (число методов расставить черточку, разделив ими позиций)

К примеру, последующий набросок соответствует такому набору 6 частей из 6 типов: 0 частей первого типа, 2 – второго, 0 – третьего, 1-четвертого Основные комбинаторные схемы, 0 - 5-ого и 3 – шестого.

Пример 28. Сколько существует методов избрать 10 пирожных, если в буфете имеются пирожные 3 видов. Ответ. .

Пример 29. Сколько существует различимых результатов совместного бросания 3 схожих правильных игральных костей и 10 неразличимых монет 1-го плюсы. Ответ. .


osnovnie-mehanizmi-vtorichnih-immunodeficitov.html
osnovnie-meri-profilaktiki-pishevihtoksikoinfekcij-napravleni-na.html
osnovnie-meropriyatiya-i-pokazateli-dlya-ocenki-rezultativnosti-ispolneniya-dolgosrochnoj-celevoj-programmi.html